آموزش جامع محاسبه چرخ‌دنده ساده؛ مدول، اصلاح پروفیل، قطر دندانه و بکلش
چرخ‌دنده ساده یکی از اجزای اصلی انتقال قدرت در گیربکس‌های صنعتی و ماشین‌آلات است.
طراحی صحیح آن به محاسبه مدول و تعداد دندانه محدود نمی‌شود؛ قطرهای اصلی،
ضریب اصلاح پروفیل، فاصله محورها، ضخامت دندانه، بکلش، نسبت تماس، استحکام
و روش ساخت نیز باید بررسی شوند.
در این راهنما، روش محاسبه یک چرخ‌دنده، دو چرخ‌دنده خارجی درگیر و
مجموعه پینیون و رینگ‌گیر داخلی، همراه با فرمول‌ها و مثال‌های مهندسی ارائه شده است.
۱. مفاهیم و نمادهای اصلی چرخ‌دنده
چرخ‌دنده ساده یا Spur Gear دارای دندانه‌های مستقیم و موازی محور دوران است.
در این صفحه، مبنای محاسبات هندسی پروفیل اینولوت با زاویه فشار مرجع مشخص است.
| نماد | تعریف | واحد |
|---|---|---|
| \(m\) | مدول | mm |
| \(z\) | تعداد دندانه | بدون واحد |
| \(\alpha\) | زاویه فشار مرجع | درجه |
| \(x\) | ضریب اصلاح پروفیل | بدون واحد |
| \(d\) | قطر گام مرجع | mm |
| \(d_b\) | قطر دایره پایه | mm |
| \(d_a\) | قطر سر دندانه | mm |
| \(d_f\) | قطر پای دندانه | mm |
| \(a\) | فاصله محورها | mm |
| \(s\) | ضخامت محیطی دندانه | mm |
| \(j_t\) | بکلش محیطی | mm |
| \(b\) | پهنای دنده | mm |
| \(P\) | توان | kW |
| \(T\) | گشتاور | N·m |
| \(n\) | سرعت دوران | rpm |
قطر گام مرجع با قطر خارجی یا قطر قابل اندازه‌گیری با کولیس یکسان نیست.
در طراحی واقعی باید پروفیل پایه، مشخصات ابزار، ارتفاع دندانه، شعاع ریشه
و تلرانس‌های ساخت نیز مشخص باشند.
۲. محاسبه یک چرخ‌دنده ساده
۲.۱. قطر گام
d=mz
\]
مثال: مدول ۱۴ و تعداد دندانه ۱۶.
d=14\times16=224\ \mathrm{mm}
\]
۲.۲. گام محیطی
p=\pi m
\]
برای مدول ۱۴:
p=\pi\times14=43.982\ \mathrm{mm}
\]
۲.۳. ضخامت اسمی دندانه
برای دندانه استاندارد بدون اصلاح پروفیل و پیش از اعمال لقی و تلرانس:
s=\frac{\pi m}{2}
\]
s=\frac{\pi\times14}{2}=21.991\ \mathrm{mm}
\]
۲.۴. قطر دایره پایه
d_b=d\cos\alpha
\]
برای \(d=۲۲۴\) میلی‌متر و \(\alpha=۲۰^\circ\):
d_b=224\cos20^\circ\approx210.50\ \mathrm{mm}
\]
۲.۵. قطر سر و پای دندانه خارجی
برای پروفیل استاندارد تمام‌ارتفاع با ضریب ارتفاع سر
\(h_a^*=۱\)، ضریب ارتفاع پای \(h_f^*=۱.۲۵\)،
و با فرض عدم کوتاه‌سازی دندانه:
d_a=m(z+2+2x)
\]
d_f=m(z-2.5+2x)
\]
برای \(m=۱۴\)، \(z=۱۶\) و \(x=۰\):
d_a=14(16+2)=252\ \mathrm{mm}
\]
d_f=14(16-2.5)=189\ \mathrm{mm}
\]
اگر \(x=+۰.۴\) باشد:
d_a=14(16+2+0.8)=263.2\ \mathrm{mm}
\]
d_f=14(16-2.5+0.8)=200.2\ \mathrm{mm}
\]
پخ، ابزار و الزامات تماس باید پیش از صدور نقشه ساخت کنترل شوند.
۳. ضریب اصلاح پروفیل (Profile Shift)
ضریب اصلاح پروفیل با نماد \(x\) مشخص می‌شود. جابه‌جایی خط مرجع ابزار
در یک تعریف متداول برابر \(xm\) است.
\Delta=xm
\]
برای مدول ۱۴ و \(x=+۰.۴\):
\Delta=0.4\times14=5.6\ \mathrm{mm}
\]
اصلاح مثبت معمولاً ضخامت دندانه را در دایره مرجع افزایش می‌دهد و می‌تواند
خطر کم‌تراشی ریشه پینیون کم‌دندانه را کاهش دهد. بااین‌حال، اصلاح بیش‌ازحد
ممکن است ضخامت نوک دندانه و نسبت تماس را کاهش دهد.
۳.۱. تابع اینولوت
\operatorname{inv}(\theta)=\tan\theta-\theta
\]
در محاسبه این تابع، زاویه باید بر حسب رادیان باشد.
برای محاسبه ضخامت دندانه روی قطرهای مختلف، ابتدا زاویه فشار آن قطر تعیین می‌شود.
\alpha_y=\cos^{-1}\left(\frac{d_b}{d_y}\right)
\]
s_y=d_y\left[
\frac{\pi}{2z}
+\frac{2x\tan\alpha}{z}
+\operatorname{inv}(\alpha)
-\operatorname{inv}(\alpha_y)
\right] \]
در این روابط، \(d_y\) قطر مورد بررسی است و باید روی بخش معتبر اینولوت قرار داشته باشد.
هندسه فیله ریشه زیر دایره پایه به رابطه جداگانه نیاز دارد.
۳.۲. انتخاب اصلاح پروفیل
مقدار اصلاح پروفیل باید با توجه به تعداد دندانه، زاویه فشار، پروفیل ابزار،
فاصله محورها، ضخامت نوک دندانه، نسبت تماس و تداخل انتخاب شود.
انتخاب \(x=+۰.۴\) برای پینیون ۱۶ دندانه فقط یک نقطه شروع برای تحلیل است،
نه مقدار قطعی و عمومی برای ساخت.
۴. محاسبه دو چرخ‌دنده خارجی درگیر
۴.۱. نسبت انتقال
i=\frac{z_2}{z_1}
\]
n_2=\frac{n_1}{i}
\]
در جفت چرخ‌دنده خارجی، دو چرخ در جهت مخالف دوران می‌کنند.
رابطه بالا مقدار سرعت را نشان می‌دهد.
۴.۲. فاصله محورها بدون اصلاح پروفیل
a_0=\frac{m(z_1+z_2)}{2}
\]
مثال: مدول ۴، پینیون ۲۰ دندانه و چرخ‌دنده ۶۰ دندانه:
a_0=\frac{4(20+60)}{2}=160\ \mathrm{mm}
\]
۴.۳. زاویه فشار کاری
\cos\alpha_w=\frac{a_0\cos\alpha}{a_w}
\]
a_w=a_0\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha_w}
\]
۴.۴. مجموع ضرایب اصلاح پروفیل
برای جفت چرخ‌دنده خارجی اینولوت با پروفیل پایه یکسان:
\operatorname{inv}(\alpha_w)=
\operatorname{inv}(\alpha)
+\frac{2(x_1+x_2)\tan\alpha}{z_1+z_2}
\]
این رابطه ارتباط مجموع اصلاح پروفیل با زاویه فشار کاری را نشان می‌دهد.
انتخاب ضرایب جداگانه هر چرخ باید همراه با کنترل ضخامت نوک، تداخل، نسبت تماس
و فاصله محورها انجام شود.
۵. محاسبه پینیون و رینگ‌گیر داخلی
در رینگ‌گیر داخلی، دندانه‌ها به سمت داخل قرار دارند. قطر سر و پای دندانه
و شرایط تداخل آن با چرخ‌دنده خارجی متفاوت است؛ بنابراین فرمول‌های دنده خارجی
نباید بدون تغییر برای رینگ داخلی استفاده شوند.
۵.۱. فاصله محورها
a_0=\frac{m(z_2-z_1)}{2}
\]
مثال کلاریفایر ماتسوکو:
- مدول: ۱۴ میلی‌متر
- پینیون: ۱۶ دندانه
- رینگ داخلی: ۱۰۴ دندانه
a_0=\frac{14(104-16)}{2}=616\ \mathrm{mm}
\]
۵.۲. قطرهای گام مرجع
d_1=mz_1=14\times16=224\ \mathrm{mm}
\]
d_2=mz_2=14\times104=1456\ \mathrm{mm}
\]
۵.۳. قطر سر و پای دندانه رینگ داخلی
با فرض پروفیل پایه استاندارد و بدون اصلاح پروفیل، روابط اولیه زیر
برای قطرهای رینگ داخلی قابل استفاده‌اند:
d_{a2}=m(z_2-2h_a^*+2x_2)
\]
d_{f2}=m(z_2+2h_f^*+2x_2)
\]
در این روابط، قرارداد علامت اصلاح پروفیل برای دنده داخلی باید با نرم‌افزار،
استاندارد و ابزار واقعی تطبیق داده شود. همچنین ارتفاع واقعی سر و پای دندانه
و شعاع ریشه ابزار باید کنترل شوند.
برای \(m=۱۴\)، \(z_2=۱۰۴\)، \(x_2=۰\)، \(h_a^*=۱\) و \(h_f^*=۱.۲۵\):
d_{a2}=14(104-2)=1428\ \mathrm{mm}
\]
d_{f2}=14(104+2.5)=1491\ \mathrm{mm}
\]
۵.۴. کنترل تداخل
در جفت دنده داخلی باید تداخل اینولوت، تداخل نوک دندانه با ریشه چرخ مقابل،
ضخامت نوک دندانه و نسبت تماس بررسی شود. اختلاف زیاد تعداد دندانه‌ها به‌تنهایی
نبود تداخل را تضمین نمی‌کند.
برای مجموعه کلاریفایر با ۱۶ و ۱۰۴ دندانه، هندسه باید با مشخصات واقعی ابزار
و روش ساخت کنترل شود.
۶. بکلش (Backlash) و تلرانس‌ها
بکلش، لقی بین پهلوهای دندانه‌های درگیر است. این لقی برای جبران خطای ساخت،
انبساط حرارتی، تغییر شکل، شرایط روانکاری و خطای مونتاژ اهمیت دارد.
۶.۱. ارتباط بکلش با ضخامت دندانه
در یک تقریب هندسی برای جفت چرخ‌دنده خارجی، لقی محیطی ناشی از کاهش ضخامت
دندانه‌ها را می‌توان به‌صورت زیر درک کرد:
j_t\approx\Delta s_1+\Delta s_2
\]
در این رابطه، \(\Delta s_1\) و \(\Delta s_2\) کاهش ضخامت مؤثر هر دندانه
نسبت به حالت بدون لقی هستند. برای محاسبه دقیق، فاصله محورها، زاویه فشار کاری،
تلرانس‌ها و روش اندازه‌گیری باید لحاظ شوند.
۶.۲. اثر تغییر فاصله محورها
برای تغییر کوچک فاصله محورها در یک جفت چرخ‌دنده خارجی، در شرایط هندسی مشخص:
\Delta j_t\approx2\Delta a\tan\alpha_w
\]
این تقریب را نباید بدون تحلیل به چرخ‌دنده داخلی تعمیم داد؛ اثر تغییر فاصله محورها
و علامت تغییر لقی به نوع درگیری وابسته است.
۶.۳. چگونه بکلش مناسب تعیین می‌شود؟
- مدول، قطر و پهنای دنده
- کلاس دقت و تلرانس ضخامت دندانه
- جنس و انبساط حرارتی قطعات
- سرعت، گشتاور و ضریب شوک بار
- روانکاری و دمای کار
- خطای هم‌محوری و تغییر شکل سازه
- شرایط مونتاژ و روش اندازه‌گیری
تعیین می‌شود؛ سپس ضخامت دندانه، تلرانس ساخت و فاصله محورها برای رسیدن به آن
طراحی می‌شوند. بکلش بیش‌ازحد کم ممکن است موجب گیرپاژ و بکلش زیاد می‌تواند
ضربه و تغییر محسوس موقعیت خروجی ایجاد کند.
۷. نسبت تماس دندانه‌ها
نسبت تماس عرضی \(\varepsilon_\alpha\) نشان می‌دهد که به‌طور متوسط چه تعداد
جفت دندانه در طول درگیری تماس دارند.
برای یک جفت چرخ‌دنده خارجی اینولوت:
\varepsilon_\alpha=
\frac{
\sqrt{r_{a1}^{2}-r_{b1}^{2}}
+\sqrt{r_{a2}^{2}-r_{b2}^{2}}
-a_w\sin\alpha_w
}{
\pi m\cos\alpha
}
\]
که در آن:
- \(r_{a1},r_{a2}\): شعاع سر دندانه‌ها
- \(r_{b1},r_{b2}\): شعاع دایره پایه‌ها
- \(a_w\): فاصله محورها در شرایط کاری
- \(\alpha_w\): زاویه فشار کاری
این رابطه برای هندسه خارجی با مسیر تماس معتبر نوشته شده است؛ برای جفت دنده داخلی
باید از رابطه مخصوص هندسه داخلی استفاده شود. نسبت تماس بیشتر می‌تواند پیوستگی
تماس را بهبود دهد، اما ضخامت نوک، تداخل و کیفیت ساخت نیز باید کنترل شوند.
۸. محاسبه توان، گشتاور و نیروی دندانه
۸.۱. گشتاور از توان و سرعت
T=\frac{9550P}{n}
\]
\(P\) بر حسب کیلووات، \(n\) بر حسب دور بر دقیقه و \(T\) بر حسب نیوتن‌متر است.
۸.۲. نیروی محیطی
F_t=\frac{2T}{d}
\]
اگر قطر بر حسب میلی‌متر باشد:
F_t=\frac{2000T}{d}
\]
در این رابطه، \(T\) بر حسب نیوتن‌متر و \(d\) بر حسب میلی‌متر است
و نیروی محیطی بر حسب نیوتن به دست می‌آید.
۸.۳. نیروی شعاعی
F_r=F_t\tan\alpha
\]
در چرخ‌دنده ساده ایده‌آل، نیروی محوری ناشی از زاویه مارپیچ وجود ندارد.
نیروهای ناشی از سایر اجزای مجموعه و خطای نصب همچنان باید بررسی شوند.
۹. استحکام خمشی و تنش تماس
محاسبه هندسه به‌تنهایی برای تأیید استحکام دنده کافی نیست. طراحی صنعتی باید
مقاومت ریشه دندانه در برابر شکست خمشی و مقاومت پهلوها در برابر خستگی سطحی
و پیتینگ را بررسی کند.
- جنس و خواص مکانیکی
- سختی سطح و مغز
- عملیات حرارتی و اعوجاج احتمالی
- توزیع بار روی پهنای دنده
- کیفیت سطح، دقت ساخت و لنگی
- سرعت، روانکاری و دمای کاری
- ضریب سرویس، شوک بار و عمر طراحی
برای ارزیابی ظرفیت باربری چرخ‌دنده‌های استوانه‌ای، استاندارد ISO ۶۳۳۶
چارچوب محاسباتی مرتبط را ارائه می‌کند. انتخاب روش و ضرایب باید متناسب
با کاربرد و داده‌های واقعی انجام شود.
۱۰. روش ساخت و کنترل کیفیت
- هوبینگ یا هاب (Hobbing): روش متداول تولید چرخ‌دنده خارجی و برخی هندسه‌های داخلی با ماشین و ابزار مناسب.
- دنده‌تراشی با کاتر پینیونی یا شیپینگ (Gear Shaping): مناسب بسیاری از چرخ‌دنده‌های خارجی و داخلی، بسته به هندسه و دسترسی ابزار.
- سنگ‌زنی دنده (Gear Grinding): برای دستیابی به دقت و کیفیت سطح بالاتر، با توجه به جنس و عملیات حرارتی.
- شیوینگ (Shaving): روش پرداخت دندانه در فرایندهای مناسب، معمولاً پیش از سخت‌کاری نهایی.
اطلاعات لازم در نقشه ساخت
- مدول، تعداد دندانه و زاویه فشار
- ضریب اصلاح پروفیل و مشخصات پروفیل پایه
- قطرهای مرجع، سر و پای دندانه
- پهنای دنده و مشخصات لبه‌ها
- کلاس دقت و تلرانس‌های ساخت
- ضخامت دندانه و معیار اندازه‌گیری
- بکلش هدف و شرایط اندازه‌گیری
- جنس، عملیات حرارتی و سختی موردنیاز
- روش ساخت و پرداخت نهایی
- معیار بازرسی پروفیل، گام، لنگی و تماس دندانه‌ها
۱۱. پرسش‌های متداول محاسبه چرخ‌دنده
مدول چرخ‌دنده چگونه محاسبه می‌شود؟
m=\frac{d}{z}
\]
این رابطه زمانی قابل استفاده است که \(d\) قطر گام مرجع باشد؛
قطر خارجی را بدون اطلاعات هندسی نباید جایگزین آن کرد.
قطر سر دندانه چطور محاسبه می‌شود؟
برای چرخ‌دنده خارجی استاندارد با اصلاح پروفیل \(x\):
d_a=m(z+2+2x)
\]
برای رینگ‌گیر داخلی، رابطه متفاوت است و باید از هندسه اختصاصی دندانه داخلی استفاده شود.
ضریب اصلاح پروفیل چه اثری دارد؟
اصلاح پروفیل بر ضخامت دندانه، ارتفاع مؤثر، احتمال کم‌تراشی، ضخامت نوک،
زاویه فشار کاری و نسبت تماس اثر می‌گذارد. مقدار مناسب به طراحی کل جفت دنده وابسته است.
آیا بکلش را فقط با اصلاح پروفیل تنظیم می‌کنیم؟
خیر. بکلش به ضخامت دندانه، فاصله محورها، تلرانس ساخت، زاویه فشار کاری،
شرایط نصب و دما وابسته است. اصلاح پروفیل تنها یکی از پارامترهای طراحی است.
آیا محاسبه قطرها برای تأیید طراحی کافی است؟
خیر. کنترل تداخل، نسبت تماس، استحکام خمشی، تنش تماس، روانکاری،
کیفیت ساخت و شرایط مونتاژ نیز لازم است.
طراحی، ساخت و بازسازی چرخ‌دنده صنعتی
ماتسوکو خدمات مهندسی چرخ‌دنده را از تحلیل نیاز و بررسی نمونه تا طراحی،
ساخت، تعمیر، بازسازی و مهندسی معکوس ارائه می‌دهد.
مبنای هندسی این آموزش، چرخ‌دنده‌های استوانه‌ای با پروفیل اینولوت است. برای مرجع هندسه، استاندارد ISO ۲۱۷۷۱-۱:۲۰۲۴ و برای ارزیابی ظرفیت باربری و استحکام، مجموعه استاندارد ISO ۶۳۳۶ منابع مرتبط هستند. این دو موضوع را باید از هم جدا نگه داشت: محاسبه هندسه به‌تنهایی تأییدکننده استحکام دنده نیست
میدونی متریال دنده ها چطور مشخص میشه و انواعش چیا هستند؟
پهنای دنده، جنس، سرعت، گشتاور و شرایط کاری را آماده کنید.
مانا تجارت سروش (ماتسوکو) | MaTSoco Engineering
تلفن: 031-32506880